GAMES101学习记录

本博客用于记录学习GAMES101时碰到的问题与记录

GAMES101的作业实现也会记录在此

同时，完成作业的过程碰到的问题与解决方案也会记录在此，包括但不限于环境配置、库的基本使用、稀奇古怪的bug

Assignment-0

此次作业是配置环境相关内容

由于我在做NJU的icsPA时已经装好了一个Ubuntu的虚拟机，因此这一系列作业都将使用Ubuntu虚拟机完成

下载安装VS Code

用火狐进入VS Code官网，选择.deb文件进行下载，默认应该保存在~/Downloads/目录下

进入对应目录，运行sudo dpkg -i code_1.89.1-1715060508_amd64.deb

这里code_1.89.1-1715060508_amd64.deb是刚下载的.deb文件，不同版本名字不一样，记得替换

配置VS Code

还是跟Windows上的配置一样

设置字体为Consolas（Linux默认这个太难看了），参考链接将 Linux 上的 VSCode 改为 Consolas 字体

下载Consolas字体的具体执行过程如下：

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>wget https://down.gloriousdays.pw/Fonts/Consolas.zip
>unzip Consolas.zip
>sudo mkdir -p /usr/share/fonts/consolas
>sudo cp consola*.ttf /usr/share/fonts/consolas/
>sudo chmod 644 /usr/share/fonts/consolas/consola*.ttf
>cd /usr/share/fonts/consolas
>sudo mkfontscale && sudo mkfontdir && sudo fc-cache -fv

再设置中文字体为微软雅黑，这个字体可以从Windows系统里偷过来，不过这个字体后缀名是.ttc而不是常见的.ttf：

.ttf和.ttc都是字体文件的格式，但它们之间有一些区别：

  • .ttf（TrueType Font）：这是由Apple和Microsoft共同推出的一种字体文件格式。每个.ttf文件只包含一种字形。凡是支持矢量字体的平台，基本都支持.ttf格式字体。
  • .ttc（TrueType Collection）：这是Microsoft开发的一种新的字体格式标准。.ttc文件可以在同一文件结构中包含多个字体，以便更有效地共享轮廓数据，缩减字体文件大小。TTC档会含超过一种字型，例如繁体 Windows 的 Ming.ttc 就包含细明体及新细明体两种字型 (两款字型不同处只是英文固定间距)，而 TTF 就只会含一种字型字体文件后缀。TTC是几个TTF合成的字库，安装后字体列表中会看到两个以上的字体。

所以，你看到的微软雅黑字体文件后缀是.ttc，是因为它包含了多种字形。

把微软雅黑下载到Download目录下后，再执行与上文几乎相同的操作：

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sudo mkdir -p /usr/share/fonts/msyh
sudo cp msyh.ttc /usr/share/fonts/msyh/
sudo chmod 644 /usr/share/fonts/msyh/msyh.ttc
cd /usr/share/fonts/msyh
sudo mkfontscale && sudo mkfontdir && sudo fc-cache -fv

字体安装完后，直接在VS Code的设置里搜索“Font Family”，将'Consolas', 'Microsoft YaHei', monospace写入，就完成了这两个字体的设置（还得是visual studio的字体配置，真的好看又优雅，Ubuntu自带的字体太难绷了）

在设置里选上"Format on Save"，即在保存时自动排版

安装C++拓展

安装Code Runner插件，并设置"Code-runner: Run In Terminal"，即在终端里显示运行结果

安装Eigen库

Eigen是本课程使用的线性代数运算库

直接运行sudo apt install libeigen3-dev即可

Eigen库基本用法

这里是Eigen库的官方文档

头文件

首先是头文件#include <eigen3/Eigen/Dense>

Eigen库的基础使用，只需要用到Eigen/Dense这个文件，官方文档的解释是：

#include <Eigen/Dense>

Includes Core, Geometry, LU, Cholesky, SVD, QR, and Eigenvalues header files

即<Eigen/Dense>包含了全部基本运算

因为我是Ubuntu系统，安装的是libeigen3-dev，因此需要在/usr/include/eigen3目录下找到Eigen目录

矩阵

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#include <iostream>
#include <eigen3/Eigen/Dense>
//	Includes Core, Geometry, LU, Cholesky, SVD, QR, and Eigenvalues header files

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
    // 生成2x2矩阵，未初始化默认为未定义，本机为0
    MatrixXd m(2, 2);
    // 用(i,j)运算符来访问第i行第j列元素
    m(0, 0) = 3;
    m(1, 0) = 2.5;
    m(0, 1) = -1;
    m(1, 1) = m(1, 0) + m(0, 1);
    // 可以直接输出到输出流
    cout << m << endl;
}

输出结果为

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  3  -1
2.5 1.5

由此可见，MatrixXd是任意维度的矩阵（由倒数第二个字符X表示任意维度，任意指初始化时决定维度），其中每个条目都是双精度的浮点数（由倒数第一个字符d表示double）

同理，MatrixXi为任意维度的int矩阵

同时，如果不初始化数值，默认是“未定义”的，在我机子上结果是0

问了bing，如果想生成全零矩阵怎么做：

如果你想创建一个所有元素都为0的矩阵，你可以使用Zero函数

例如：

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>Eigen::MatrixXd m = Eigen::MatrixXd::Zero(3, 3); // 创建一个3x3的全零矩阵

矩阵要用(i,j)运算符来访问第i行第j列元素

向量

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#include <iostream>
#include <eigen3/Eigen/Dense>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
    // 随机生成3x3矩阵，随机值在-1到1
    MatrixXd m = MatrixXd::Random(3, 3);
    m = (m + MatrixXd::Constant(3, 3, 1.2)) * 50;
    cout << "m =" << endl
         << m << endl;

    // 先初始化
    VectorXd v(3);
    // 再赋值
    v << 1, 2, 3;
    cout << "v =" << endl
         << v << endl;

    // 矩阵乘法
    cout << "m * v =" << endl
         << m * v << endl;
}

输出为:

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m =
94.0188  89.844 43.5223
49.4383 101.165  86.823
88.3099 29.7551 37.7775
v =
1
2
3
m * v =
404.274
512.237
261.153

MatrixXd::Random(3, 3)这个函数生成的是一个3x3矩阵，随机值在-1和1之间

MatrixXd::Constant(3, 3, 1.2)这个函数，生成的是一个3x3矩阵，每一个元素都为双精度浮点数1.2（因此上文中创建一个所有元素都为0的矩阵也可以用这个函数）

根据输出结果可见，向量默认为列向量

如果想实现行向量，就用RowVectorXd实现

总结

简单使用方法目前介绍到此为止，后续实验中如果碰到新的内容会在对应位置记录，现阶段总结如下：

一般都是先初始化矩阵或向量，再用<<运算符赋值，如

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MatrixXf m(3, 3);
m << 1, 2, 3,
     4, 5, 6,
     7, 8, 9;

VectorXd v(3);
v << 1, 2, 3;

初始化时可以用对应的函数，如用MatrixXd初始化的矩阵m，可以用MatrixXd对应的函数初始化，如

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MatrixXf m = MatrixXf::Zero(3, 3);

矩阵和向量可以直接用<<运算符输出到输出流

矩阵和向量都要用()运算符访问元素

作业代码

代码如下

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#include <iostream>
#include <eigen3/Eigen/Dense>
#include <cmath>

using namespace std;
using namespace Eigen;

int main()
{
    VectorXd P(3);
    P << 2, 1, 1;
    MatrixXd RotationMat(3, 3);
    double angle = (double)45 / 180 * acos(-1);
    RotationMat << cos(angle), -sin(angle), 0,
        sin(angle), cos(angle), 0,
        0, 0, 1;
    MatrixXd TranslateMat(3, 3);
    TranslateMat << 1, 0, 1,
        0, 1, 2,
        0, 0, 1;
    P = TranslateMat * RotationMat * P;
    cout << P << endl;
}

注意double angle = (double)45 / 180 * acos(-1);这一句，如果45不加(double)就要写成45.0，不然会被识别成int的45，除法结果为0，不符预期

Assignment-1

unzip中文乱码问题

这次作业给了代码框架，于是就需要在Ubuntu下载这次作业

运行如下指令：

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wget http://games-cn.org/wp-content/uploads/2020/02/Assignment1.zip

就能获得这个zip压缩包，放到对应位置后解压：

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unzip Assignment1.zip

但是发现输出和最后解压的结果是乱码，我应该安装了中文，只是环境用的英文环境，挺奇怪的

经过一系列查找资料后，发现问题所在：unzip命令没有指定字符集，于是执行unzip -O CP936 Assignment1.zip就能正常实现了

但是如果每次unzip都要加这个那就太麻烦了，于是直接给写进环境变量里：

在环境变量中，指定unzip参数，总是以指定的字符集显示和解压文件

/etc/environment中加入2行

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>UNZIP="-O CP936"

>ZIPINFO="-O CP936"

添加完需要重启，才能起效

参考Linux环境变量配置全攻略

Ubuntu 22.04中文拼音输入法

我没想到这个还有点烦人

最后发现是没有重启的原因，有点难绷

参考Ubuntu 22.04 Chinese (simplified) pinyin input support

Ubuntu中切换输入法快捷键：win + 空格

Ubuntu上OpenCV安装

好啊，又折磨了一下午，终于把这个库装好了

比Windows的安装麻烦许多，中途还是踩了一些坑的，最大的坑就是opencv4.pc这个文件

正确的安装过程

主要参考linux下编译安装opencv生成opencv.pc

  • 首先安装cmake和所需依赖环境

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    sudo apt-get install cmake
    sudo apt-get install build-essential libgtk2.0-dev libavcodec-dev libavformat-dev libjpeg-dev libswscale-dev libtiff5-dev
    sudo apt-get install pkg-config

  • 然后去官网下载对应版本的Sources，我安装的版本为4.8.0

    下载完了直接解压即可，cd进入对应目录，如/home/winkyspeed/Libs/opencv-4.8.0

  • 在此目录下新建build文件夹，并且进入

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    mkdir build && cd build

  • 接下来用cmake命令进行配置

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    sudo cmake -D CMAKE_BUILD_TYPE=Release -D OPENCV_GENERATE_PKGCONFIG=ON -D CMAKE_INSTALL_PREFIX=/usr/local ..

    其中，-D用于定义变量，使用-D选项来设置CMake的变量，这些变量会在CMake运行时被使用

    CMAKE_BUILD_TYPE=Release指定构件类型为Release版，类似于Windows里Visual Studio里选择Debug模式还是Release模式

    OPENCV_GENERATE_PKGCONFIG=ON这个可太重要了，选了这个选项就代表少踩一个大坑，这个选项选上的时候，编译过程中会自动生成pkg-config的配置文件，即opencv4.cp

    CMAKE_INSTALL_PREFIX=/usr/local指定编译结果安装到/usr/local目录下，这也是默认的编译路径

    ..：最后还有两个点，指向当前目录的父目录，表示CMake会在父目录中查找CMakeLists.txt文件

  • 进行编译，执行如下指令

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    sudo make -j8

    指定多线程编译，会稍微快一点

    这里需要编译一段时间，耐心等待即可

  • 进行安装，执行如下指令

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    sudo make install

  • 配置环境

    • 用文本编辑器（如VS Code或vim）打开/etc/ld.so.conf，在文件最后一行添加：

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      include /usr/local/lib

      添加的这个路径就是OpenCV的lib库，即动态链接库

      添加完保存退出，再运行如下指令来更新缓存

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      sudo ldconfig

      在Linux系统中，/etc/ld.so.conf文件记录了编译时使用的动态库的路径，也就是加载.so库的路径。默认情况下，编译器只会使用/lib和/usr/lib这两个目录下的库文件。如果你的库文件安装在其他路径（比如/usr/local/lib），那么你需要在/etc/ld.so.conf文件中添加这个路径。

      当你在/etc/ld.so.conf文件中添加新的库路径后，你需要运行ldconfig命令来更新动态链接库的缓存。

    • 用文本编辑器打开/etc/bash.bashrc，在文本末尾添加：

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      PKG_CONFIG_PATH=$PKG_CONFIG_PATH:/usr/local/lib/pkgconfig
       
      export PKG_CONFIG_PATH

      新添加的这个PKG_CONFIG_PATH环境变量指定了pkg-config工具在指定目录下查找.pc文件，这个文件包含了库的编译和链接信息

      pkg-config的默认路径是：/usr/lib/pkgconfig/和/usr/share/pkgconfig/，这里我们新添加一个路径：/usr/local/lib/pkgconfig

      因为cmake命令配置时OPENCV_GENERATE_PKGCONFIG=ON这个命令，OpenCV在编译过程中自动生成了这个opencv4.pc文件，如图

      因此，我们需要把这个路径加入pkg-config的查找路径，使之能查找到我们需要的opencv4.pc

      添加完保存退出，再运行如下指令来更新缓存

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      source /etc/bash.bashrc

  • 检验是否安装成功

    终端输入如下指令

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    pkg-config opencv4 --modversion

    有版本输出，说明安装成功


我经历的折磨

记录最开始未成功的解决方案，成功的解决方案是上文正确的安装过程

最折磨的一点就是opencv4.pc这个文件，我最开始在编译的时候没选OPENCV_GENERATE_PKGCONFIG=ON自动生成，而是在出错之后想着手动写入opencv.pc，但因为库之间是有依赖关系的，所以如果顺序放错也会找不到，最好还是自动生成

主要参考ubuntu安装opencv的正确方法，但是最后那块会出现问题，具体什么问题下文会详细记录，因此又参考在Ubuntu18.04中安装OpenCV4.5这篇文章的部分内容（手动创建opencv.pc及之后部分），部分解决方案参考opencv2在opencv4文件夹内


前面逻辑大体一致，跟着教程走直到最后pkg-config opencv --modversion这一步，我发现报错了：

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Package opencv was not found in the pkg-config search path.
Perhaps you should add the directory containing `opencv.pc'
to the PKG_CONFIG_PATH environment variable
No package 'opencv' found

可能是因为OpenCV在高版本就不自动生成.pc文件了

看评论区有人提到了另一篇教程，手动创建opencv.pc部分，又照着实现，勉强能在控制台输出版本号了，我就以为结束了，殊不知编译代码的时候根本找不到这些链接库，烦死了

然后我再去尝试跑最简单的CV库代码，读取一张图并显示出来，又出问题了：

我们需要包含的头文件<opencv.hpp>在/usr/local/include/opencv4/opencv2/目录下

但是正常写代码的时候一般都写#include <opencv2/opencv.hpp>，而搜索的时候只会在/usr/local/include/等目录中搜索，理所当然的搜索不到opencv2目录下的opencv.hpp文件，导致无法正常运行

我就去找了这样的一篇文章，用创建一个“软链接”的方法，在/usr/local/include/目录中创建一个指向opencv2目录的软链接

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sudo ln -s /usr/local/include/opencv4/opencv2 /usr/local/include/

这样在VS Code中可以正确找到对应的头文件，我就以为问题解决了（但是并没有），不过这个步骤还是挺有用的


为了避免别人再犯一样的错误，我这里把自动生成的.pc文件放在这里，如果想手动输入可以参考，但是可能会因为版本号对不上再导致新的问题，还是建议自动生成

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# Package Information for pkg-config

prefix=/usr/local
exec_prefix=${prefix}
libdir=${exec_prefix}/lib
includedir=${prefix}/include/opencv4

Name: OpenCV
Description: Open Source Computer Vision Library
Version: 4.8.0
Libs: -L${exec_prefix}/lib -lopencv_gapi -lopencv_highgui -lopencv_ml -lopencv_objdetect -lopencv_photo -lopencv_stitching -lopencv_video -lopencv_calib3d -lopencv_features2d -lopencv_dnn -lopencv_flann -lopencv_videoio -lopencv_imgcodecs -lopencv_imgproc -lopencv_core
Libs.private: -ldl -lm -lpthread -lrt
Cflags: -I${includedir}

我在知道能自动生成.pc文件后直接去问bing解决措施：

我现在想重新设置cmake，多加一个-D OPENCV_GENERATE_PKGCONFIG=ON 我该怎么做？重装OpenCV吗？


你不需要重新安装OpenCV，只需要重新配置并编译即可。你可以按照以下步骤操作：

  1. 首先，你需要清理之前的构建文件。在你的build目录下执行以下命令：

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make clean

  1. 然后，你可以重新运行cmake命令，并添加-D OPENCV_GENERATE_PKGCONFIG=ON选项：

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sudo cmake -D CMAKE_BUILD_TYPE=Release -D OPENCV_GENERATE_PKGCONFIG=ON -D CMAKE_INSTALL_PREFIX=/usr/local ..

  1. 最后，重新编译和安装OpenCV：

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sudo make -j8
 sudo make install

完成以上步骤后，你应该可以在/usr/local/lib/pkgconfig/目录下找到opencv4.pc文件了。

于是就安装成功了

这件事告诉我们，有时候走错了路或者选错了方向以后，是可以回头重新审视修改的，不需要为了证明在一个方向是错误的还是正确的而一条路走到黑，退后一步也许就会海阔天空

VS Code配置Code Runner运行OpenCV库

我是喜欢用Code Runner来跑代码的，如果喜欢手动编译也是可以的

配置这个还是比较容易的（前提是前文的OpenCV安装成功）

OpenCV安装成功的标志是：在终端运行如下指令

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pkg-config --cflags --libs opencv4

输出如下：

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winkyspeed@VMachine:~$ pkg-config --cflags --libs opencv4
-I/usr/local/include/opencv4 -L/usr/local/lib -lopencv_gapi -lopencv_highgui -lopencv_ml -lopencv_objdetect -lopencv_photo -lopencv_stitching -lopencv_video -lopencv_calib3d -lopencv_features2d -lopencv_dnn -lopencv_flann -lopencv_videoio -lopencv_imgcodecs -lopencv_imgproc -lopencv_core

就说明成功了


打开VS Code的设置，选择工作区（比如GAMES101，工作区需要手动添加），搜索Code-runner:Executor Map，点击Edit in settings.json

这样就会在工作区目录下创建一个.vscode目录，下面就有一个settings.json文件

把cpp一行修改为如下内容：

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"cpp": "cd $dir && g++ -std=c++11 $fileName -o $fileNameWithoutExt `pkg-config --cflags --libs opencv4` && $dir$fileNameWithoutExt"

就可以了

成功跑通最基础的代码，说明OpenCV库安装成功并且代码能够正常执行：

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#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;

int main()
{
    Mat test = imread("5.jpg");
    imshow("test", test);
    waitKey(0);
    return 0;
}

结果如下：

不得不说我选的图真好

本来没考虑那么多，想着选个石头门的全家福用来测试OpenCV库的，结果第一遍配置完成的时候代码却不能正常跑通

当时就给我整不会了，这可是最基本的代码啊，而且我为了装这个库已经花了一个下午的时间了

所以当我解决全部问题，终于跑出来这个结果时，看到了蛋糕上的おめでとう，就感觉这一切值得了（虽然桶子的脑袋只留下了一半）

VS Code找不到头文件

如果#include <opencv2/opencv.hpp>这一行爆红了，应该是找不到头文件的问题

如果按照上文正确配置了，代码应该是能正常运行的，即编译器在编译时能找到文件，但是编辑器没找到文件

正常使用时需要包含的头文件<opencv.hpp>在/usr/local/include/opencv4/opencv2/目录下

搜索的时候只会在/usr/local/include/等目录中搜索，理所当然的搜索不到opencv2目录下的opencv.hpp文件，导致无法正常运行

解决方法也很容易，有以下两种

软链接

我找到了这样一篇文章，用创建一个“软链接”的方法，在/usr/local/include/目录中创建一个指向opencv2目录的软链接

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sudo ln -s /usr/local/include/opencv4/opencv2 /usr/local/include/

这样在VS Code中可以正确找到对应的头文件


设置VS Code工作区

前文中也已经对这个工作区的Code Runner进行自定义过了，因此也可以再自定义include路径

  • 打开VSCode的工作区设置（.vscode/c_cpp_properties.json文件），如果这个文件不存在，可以通过Ctrl+Shift+P打开命令面板，然后输入C/C++: Edit Configurations (JSON)来创建

  • 在c_cpp_properties.json文件中，找到includePath字段，然后添加OpenCV头文件的路径，即/usr/local/include/opencv4

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    "includePath": [
        "${workspaceFolder}/**",
        "/usr/local/include/opencv4"
    ],

这样，VSCode也可以找到opencv2目录，进而找到文件

作业代码

还是比较容易

最终的算法是viewport * Ortho * Pers->Ortho * ModelView * 原始坐标，依次左乘一系列矩阵得到最终的答案

参考关于透视投影矩阵的问题

基础实现

旋转矩阵：

按照旋转矩阵，得到绕XYZ三个轴旋转的结果如下

我在参数里多加了一个int axis，默认赋值为0，指明绕Z, Y, X哪个轴旋转

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// 绕XYZ三个轴旋转
Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle, int axis = 0)
{
    Eigen::Matrix4f model = Eigen::Matrix4f::Identity();

    // TODO: Implement this function
    // Create the model matrix for rotating the triangle around the Z axis.
    // Then return it.
    double angle = rotation_angle / 180 * MY_PI;
    Eigen::Matrix4f Rotation;

    if (axis == 0)
    {
        // Z axis
        Rotation << cos(angle), -sin(angle), 0, 0,
            sin(angle), cos(angle), 0, 0,
            0, 0, 1, 0,
            0, 0, 0, 1;
    }
    else if (axis == 1)
    {
        // Y axis
        Rotation << cos(angle), 0, sin(angle), 0,
            0, 1, 0, 0,
            -sin(angle), 0, cos(angle), 0,
            0, 0, 0, 1;
    }
    else
    {
        // X axis
        Rotation << 1, 0, 0, 0,
            0, cos(angle), -sin(angle), 0,
            0, sin(angle), cos(angle), 0,
            0, 0, 0, 1;
    }

    model = Rotation * model;
    return model;
}

再看投影矩阵函数

需要根据FOV和宽高比计算出对应大小的立方体，再进行相应计算

我这里是用水平FOV进行计算的

有一点需要注意：GAMES101课程中讲的zNear和zFar都是负数

但是主函数调用时代入参数为正数：r.set_projection(get_projection_matrix(45, 1, 0.1, 50));

因此，如果按课程内容进行运算时，就要乘-1

还有一点需要注意：计算对应坐标时，用到了zNear的长度，故需要调用abs()函数求绝对值，不然即使改了zNear和zFar都是负数以后，也仍然会出现倒三角的情况

代码如下：

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Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
                                      float zNear, float zFar)
{
    // Students will implement this function

    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();

    // TODO: Implement this function
    // Create the projection matrix for the given parameters.
    // Then return it.

    // GAMES101课程中讲的zNear和zFar都是负数
    // 但是代入的值都是正数
    // 因此按课程内容进行运算时，就要乘-1
    zNear *= -1;
    zFar *= -1;

    // 透视矩阵
    Eigen::Matrix4f Persp;
    Persp << zNear, 0, 0, 0,
        0, zNear, 0, 0,
        0, 0, zNear + zFar, -zNear * zFar,
        0, 0, 1, 0;

    // 通过fov和宽高比例计算出l, r, b, t
    // aspect_ratio就是宽高比
    float left, right, bottom, top;
    float angle = eye_fov / 180 * MY_PI;
    // 注意课程内容里是用长度，计算时要加 abs 算绝对值
    left = -tan(angle / 2) * abs(zNear);
    right = tan(angle / 2) * abs(zNear);
    // 如果用如下代码(即不计算绝对值),则会导致倒三角的情况
    // **************************************
    // left = -tan(angle / 2) * zNear;      *
    // right = tan(angle / 2) * zNear;      *
    // **************************************
    bottom = left / aspect_ratio;
    top = right / aspect_ratio;

    // 位移矩阵
    Eigen::Matrix4f translate;
    translate << 1, 0, 0, -(left + right) / 2,
        0, 1, 0, -(top + bottom) / 2,
        0, 0, 1, -(zNear + zFar) / 2,
        0, 0, 0, 1;
    // 缩放矩阵
    Eigen::Matrix4f scale;
    scale << 2 / (right - left), 0, 0, 0,
        0, 2 / (top - bottom), 0, 0,
        0, 0, 2 / (zNear - zFar), 0,
        0, 0, 0, 1;
    projection = scale * translate * Persp * projection;

    return projection;
}

编译运行

第一次动手用cmake编译自己的项目，因此记录

在main.cpp同级目录下（即“代码框架”目录下）运行以下指令：

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mkdir build     // 创建build文件夹用于保留工程文件
cd build        // 进入build文件夹
cmake ..        // 通过提供CMakeLists.txt文件的路径（父目录）作为参数来运行CMake
make −j8        // 通过make编译代码， −j8 表示8个内核进行并行化编译
./Rasterizer    // 运行代码

结果如下：

按A键三角形逆时针旋转，按D键三角形顺时针旋转


进阶实现——任意轴

这个也不是很难，不过需要注意“任意轴”是任意方向，并且过任意点

“任意轴”的方向可以用一个Vector3f给定，“任意点”的位置同理

罗德里德斯旋转公式默认是绕过原点(0,0,0)的轴旋转的

因此需要在旋转前把这个任意点移动到原点，再绕原点旋转，再把点移动回去，就能得到结果

具体做法是：Translate_back * Rotation * Translate

有一点需要注意：按照罗德里德斯旋转公式得到的结果是一个3x3的矩阵，变换要考虑齐次坐标，即变成4x4的矩阵


Rodrigues’ Rotation Formula 如下：

注意，罗德里德斯旋转公式的旋转轴要是一个单位向量，因此需要做正则化处理

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// 绕任意轴旋转任意角度
// 任意轴的定义方法：过任意点的任意向量（不一定是单位向量，指明方向即可）
// 代入的方向与点都是三维的，不需要考虑齐次坐标
Eigen::Matrix4f get_model_matrix_arbitrary_axis(Eigen::Vector3f axis_direction,
                                                Eigen::Vector3f point,
                                                float rotation_angle)
{
    // 先将这个向量过的点移回原点
    Eigen::Matrix4f Translate;
    Translate << 1, 0, 0, -point(0),
        0, 1, 0, -point(1),
        0, 0, 1, -point(2),
        0, 0, 0, 1;
    // 再旋转相应角度，运用罗德里格斯旋转公式
    // 方向向量正则化
    axis_direction.normalize();
    // 计算角度
    float theta = rotation_angle / 180 * MY_PI;
    // 计算cos和sin
    float cos_theta = cos(theta);
    float sin_theta = sin(theta);
    // 根据公式计算旋转矩阵，公式来源: GAMES101_Lecture_04 P10
    // Rodrigues’ Rotation Formula: Rotation by angle theta around axis n
    // R(n, theta) = cos(theta) * I + (1 - cos(theta)) * n * n.T + sin(theta) * N
    // N = { 0, -nz, ny,
    //      nz, 0, -nx,
    //      -ny, nx, 0 }
    // 注意：这个矩阵算出来是3x3的，最后要加齐次坐标变成4x4的旋转矩阵
    Matrix3f N;
    N << 0, -axis_direction(2), axis_direction(1),
        axis_direction(2), 0, -axis_direction(0),
        -axis_direction(1), axis_direction(0), 0;
    Matrix3f Rotation_3x3;
    Matrix3f Eye = Matrix3f::Identity();
    Rotation_3x3 = cos_theta * Eye + (1 - cos_theta) * axis_direction * axis_direction.transpose() + sin_theta * N;
    // 将3x3旋转矩阵扩展为4x4旋转矩阵
    Matrix4f Rotation_4x4 = Matrix4f::Identity();
    Rotation_4x4.block<3, 3>(0, 0) = Rotation_3x3; // 将3x3旋转矩阵嵌入到左上角
    // 最后将这个向量过的点移回去
    Eigen::Matrix4f Translate_back;
    Translate_back << 1, 0, 0, point(0),
        0, 1, 0, point(1),
        0, 0, 1, point(2),
        0, 0, 0, 1;
    // 计算最终的4x4矩阵
    Eigen::Matrix4f result = Translate_back * Rotation_4x4 * Translate;
    return result;
}

对应main函数也需要做修改，把get_model_matrix(angle)注释掉，换成刚刚写的新函数，并且前面指定“轴”和“任意点”的变量

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// 过任意轴, 指定Y正方向,过(0,0,-2)
Vector3f axis, point;
axis << 0, 1, 0;
point << 0, 0, -2;
...
// r.set_model(get_model_matrix(angle));
r.set_model(get_model_matrix_arbitrary_axis(axis, point, angle));

我指定了绕过(0,0,-2)的，沿Y轴正方向的轴旋转，结果如下：




参考资料

GAMES101

将 Linux 上的 VSCode 改为 Consolas 字体

Eigen库的官方文档

ubuntu下中文乱码解决方案(全)

Ubuntu 22.04 Chinese (simplified) pinyin input support

Linux环境变量配置全攻略

ubuntu安装opencv的正确方法

在Ubuntu18.04中安装OpenCV4.5

opencv2在opencv4文件夹内

linux下编译安装opencv生成opencv.pc

关于透视投影矩阵的问题