Stochastic Geometry

  • 点过程：这是研究随机点模式的数学理论。在这种模式中，点可以在任何给定的区域内随机分布。
  • 随机镶嵌：这是指将空间划分为多个形状和大小的区域的过程。这些区域或“镶嵌”可以有各种各样的形状和大小，并且它们的位置和方向通常是随机的。
  • 体视学：这是一种用于估计三维结构特性的统计方法，通常通过在二维图像上进行测量来实现。这种方法通常用于材料科学、生物学和地质学等领域。

A spatial point process（空间点过程）

A point process in \(R^2\) is a random variable taking values in the space \(N\).

有限性：任何有界集合A中包含有限数量的点。这意味着，如果在二维空间中选择一个有限的区域，那么这个区域中的点的数量是有限的。

简单性：如果\(i\)不等于\(j\)，那么\(x_i\)不等于\(x_j\)。这意味着，在同一空间中的任何两个点都不可能处于同一位置。

等价：两个点过程如果具有相同的空概率分布（对所有集合），那么它们就是等价的

空概率分布：空概率分布是指在给定的区域（通常是一个紧凑集合）中没有点出现的概率。对于一个点过程，我们可以为每一个可能的区域定义一个空概率。例如，对于一个二维空间中的点过程，我们可以计算在一个给定的矩形、圆形或任何其他形状的区域中没有点出现的概率。

Stationary point processes（平稳点过程）

A point process is stationary if its distribution is invariant with respect to translations.

一个点过程如果在平移变换下保持不变，那么我们就说这个点过程是平稳的

BPP（Binomial point process，泊松二分过程）不是平稳的

Stationary Poisson point process（PPP，平稳泊松点过程）

  1. 最适合分析：由于其简单和规则的性质，PPP被广泛用于理论分析和建模。
  2. 节点位置之间无依赖性：在PPP中，每个节点的位置都是独立随机选择的，与其他节点的位置无关。
  3. 节点数量随机：PPP中的节点数量是一个随机变量，可以根据某种给定的概率分布进行选择。
  4. 可以在整个平面上定义：与只能在有限区域内定义的一些其他点过程不同，PPP可以在整个二维平面上定义。
  5. “二分泊松过程（BPP）的极限分布"是指当我们考虑大规模网络，并让节点密度趋向无穷大时，BPP会趋向于平稳泊松点过程（PPP）。这是因为在这种情况下，每个节点都可以被视为独立地随机分布在空间中，而不需要考虑其他节点的存在。

PPP的正规定义：

泊松分布公式：\(P\{X=k\}=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\)

这里\(k=\lambda|A|\)，其中\(\lambda\)是点过程的强度，表示单位面积内平均有多少个点，\(|A|\)是集合\(A\)的面积

A stationary PPP is completely characterized by a single number \(\lambda\).

Distance properties of a PPP

在平稳泊松点过程（PPP）中，从原点到过程中最近点的距离（记为D）的累积补分布函数（CCDF）是\(P(D \ge r) = \exp(-\lambda\pi r^2)\)。这意味着，距离原点大于\(r\)的点的概率等于\(\exp(-\lambda\pi r^2)\)。

这个性质反映了PPP的一个关键特征，即点之间的距离是随机的，并且服从特定的概率分布。这个分布取决于点过程的强度\(\lambda\)，以及你感兴趣的距离\(r\)。

这个性质在许多应用中都非常有用，例如在无线通信网络中，我们可能对从基站到最近用户设备的距离感兴趣；在生态学中，我们可能对从给定位置到最近个体的距离感兴趣。通过理解和利用这个性质，我们可以更好地理解和分析这些系统的空间结构和动态行为。

Transmission capacity(TC)

这个公式的含义是：

  1. arg max_{λ>0} {p_s(ξ; λ) > 1 - ε} 是可以支持的最大发射节点密度，以满足中断约束ε。
  2. (1 - ε) 是这些节点中成功传输的比例。
  3. 因此，TC度量了在给定中断容量下，每单位面积内成功传输的最大空间强度。
  4. 通过乘以 log2(1 + ξ)，可以将TC与面积谱效率（ASE）关联起来。